FISICA II: diciembre 2010

6/12/10

Campo Magnético Ley de Ampere

El campo magnético es una región del espacio en la cual una carga eléctrica puntual de valor que se desplaza a una velocidad $\mathbf{v}$ , sufre los efectos de una fuerza que es perpendicular y proporcional tanto a la velocidad como al campo. Así, dicha carga percibirá una fuerza descrita con la siguiente igualdad.

$\mathbf{F} = q\mathbf{v} \times \mathbf{B}$

donde F es la fuerza, v es la velocidad y B el campo magnético, también llamado inducción magnética y densidad de flujo magnético. (Nótese que tanto F como v y B son magnitudes vectoriales y el producto vectorial tiene como resultante un vector perpendicular tanto a v como a B). El módulo de la fuerza resultante será

$|\mathbf{F}| = q|\mathbf{v}||\mathbf{B}|\cdot \mathop{\sin} \theta$

La existencia de un campo magnético se pone de relieve gracias a la propiedad localizada en el espacio de orientar un magnetómetro (laminilla de acero imantado que puede girar libremente). La aguja de una brújula, que evidencia la existencia del campo magnético terrestre, puede ser considerada un magnetómetro.

Ley de Ampère:

En física del magnetismo, la ley de Ampère, descubierta por André-Marie Ampère en 1826, relaciona un campo magnético estático con la causa que la produce, es decir, una corriente eléctrica estacionaria. James Clerk Maxwell la corrigió posteriormente y ahora es una de las ecuaciones de Maxwell, formando parte del electromagnetismo de la física clásica.

En su forma original, la Ley de Ampère relaciona el campo magnético con la corriente eléctrica que lo genera.
La Ley se puede escribir de dos maneras, la "forma integral" y la "forma diferencial ". Ambas formas son equivalentes, y se relacionan por el teorema de Stokes.

Forma integral

Dada una superficie abierta

S

por la que atraviesa una corriente eléctrica

I

, y dada la curva

C

, curva contorno de la superficie

S

, la forma original de la ley de Ampère para medios materiales es:

$\oint_C \vec{H} \cdot d\vec{l} = \int\!\!\!\!\int_S \vec{J} \cdot d \vec{S} = I_{\mathrm{enc}}$

donde

$\vec{H}$ es la intensidad del campo magnético,

$\vec{J}$ es la densidad de corriente eléctrica,

$I_{\mathrm{enc}} \,$ es la corriente encerrada en la curva

C

Y se lee: La circulación del campo $\vec{H}$ a lo largo de la curva $C$ es igual al flujo de la densidad de corriente sobre la superficie abierta $S$ , de la cual $C$ es el contorno.
En presencia de un material magnético en el medio, aparecen campos de magnetización, propios del material, análogamente a los campos de polarización que aparecen en el caso electrostático en presencia de un material dieléctrico en un campo eléctrico.
Definición:

$\vec{H}= \frac {\vec{B}} {\mu_0} - \vec{M}$

$\vec{B}=\mu_0(\vec{H} + \vec{M})$

$\vec{B}=\mu_0(1+\chi_m)\vec{H}=\mu_0 \mu_r \vec{H}=\mu \vec{H}$

donde

$\vec{B}$ es la densidad de flujo magnético,

$\mu_0\,$ es la permeabilidad magnética del vacío,

$\mu_r\,$ es la permeabilidad magnética del medio material,

Luego, $\mu=\mu_0\mu_r \,$ es la permeabilidad magnética total.

$\vec{M}$ es el vector magnetización del material debido al campo magnético.

$\chi_m\,$ es la susceptibilidad magnética del material.

Un caso particular de interés es cuando el medio es el vacío ( $\mu=\mu_0\,$ o sea, $\vec{B} = \mu_0 \vec{H} \$ ):

$\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\mathrm{enc}}$

Forma diferencial

A partir del teorema de Stokes, esta ley también se puede expresar de forma diferencial:

$\vec\nabla\times\vec H = \vec J$

donde

$\vec\nabla\times$ es el operador rotacional

$\vec J$ es la densidad de corriente que atraviesa el conductor.

CORRIENTE Y RESISTENCIA, FUERZA ELECTROMOTRIZ Y CIRCUITOS

Un generador eléctrico es todo dispositivo capaz de mantener una diferencia de potencial eléctrico entre dos de sus puntos, llamados polos, terminales o bornes. Los generadores eléctricos son máquinas destinadas a transformar la energía mecánica en eléctrica. Esta transformación se consigue por la acción de un campo magnético sobre los conductores eléctricos dispuestos sobre una armadura (denominada también estátor). Si mecánicamente se produce un movimiento relativo entre los conductores y el campo, se generará una fuerza electromotriz (F.E.M.). Están basados en la ley de Faraday.

Generador eléctrico de una fase que genera una corriente eléctrica alterna (cambia periódicamente de sentido), haciendo girar un imán permanente cerca de una bobina.

Un generador es una máquina eléctrica que realiza el proceso inverso que un motor eléctrico, el cual transforma la energía eléctrica en energía mecánica. Aunque la corriente generada es corriente alterna, puede ser rectificada para obtener una corriente continua. En el diagrama adjunto se observa la corriente inducida en un generador simple de una sola fase. La mayoría de los generadores de corriente alterna son de tres fases.

CAPACIDAD ELÉCTRICA Y CONDENSADORES

La capacidad o capacitancia es una propiedad de los condensadores o capacitores. Esta propiedad rige la relación entre la diferencia de potencial (o tensión) existente entre las placas del capacitor y la carga eléctrica almacenada en este, mediante la siguiente ecuación:

${C} = {Q \over V}$

donde

$C\,$ es la capacidad, medida en faradios (en honor al físico experimental Michael Faraday); esta unidad es relativamente grande y suelen utilizarse submúltiplos como el microfaradio o picofaradio.

$Q\,$ es la carga eléctrica almacenada, medida en culombios;

$V\,$ es la diferencia de potencial (o tensión), medida en voltios.

Cabe destacar que la capacidad es siempre una cantidad positiva y que depende de la geometría del capacitor considerado (de placas paralelas, cilíndrico, esférico). Otro factor del que depende es del dieléctrico que se introduzca entre las dos superficies del condensador. Cuanto mayor sea la constante dieléctrica del material no conductor introducido, mayor es la capacidad.
En la práctica, la dinámica eléctrica del condensador se expresa gracias a la siguiente ecuación diferencial, que se obtiene derivando respecto al tiempo la ecuación anterior.

${i} = \frac {dQ}{dt} = {C} \frac {dV}{dt}$

Donde i representa la corriente eléctrica, medida en amperios.

Condensadores:

En electricidad y electrónica, un condensador (capacitor en inglés) es un dispositivo que almacena energía eléctrica, es un componente pasivo. Está formado por un par de superficies conductoras en situación de influencia total (esto es, que todas las líneas de campo eléctrico que parten de una van a parar a la otra), generalmente en forma de tablas, esferas o láminas, separadas por un material dieléctrico (siendo este utilizado en un condensador para disminuir el campo eléctrico, ya que actúa como aislante) o por el vacío, que, sometidos a una diferencia de potencial (d.d.p.) adquieren una determinada carga eléctrica, positiva en una de las placas y negativa en la otra (siendo nula la carga total almacenada).
La capacidad de 1 faradio es mucho más grande que la de la mayoría de los condensadores, por lo que en la práctica se suele indicar la capacidad en micro- µF = 10^-6, nano- nF = 10^-9 o pico- pF = 10^-12 -faradios. Los condensadores obtenidos a partir de supercondensadores (EDLC) son la excepción. Están hechos de carbón activado para conseguir una gran área relativa y tienen una separación molecular entre las "placas". Así se consiguen capacidades del orden de cientos o miles de faradios. Uno de estos condensadores se incorpora en el reloj Kinetic de Seiko, con una capacidad de 1/3 de Faradio, haciendo innecesaria la pila. También se está utilizando en los prototipos de automóviles eléctricos.
El valor de la capacidad de un condensador viene definido por la siguiente fórmula:

$C=\frac{Q_1}{V_1-V_2} = \frac{Q_2}{V_2-V_1}$

en donde:

C

: Capacitancia

Q 1

: Carga eléctrica almacenada en la placa 1.

V 1 - V 2

: Diferencia de potencial entre la placa 1 y la 2.

Nótese que en la definición de capacidad es indiferente que se considere la carga de la placa positiva o la de la negativa, ya que

$Q_2 = C(V_2-V_1) = -C(V_1-V_2) = -Q_1\,$

aunque por convenio se suele considerar la carga de la placa positiva.
En cuanto al aspecto constructivo, tanto la forma de las placas o armaduras como la naturaleza del material dieléctrico son sumamente variables. Existen condensadores formados por placas, usualmente de aluminio, separadas por aire, materiales cerámicos, mica, poliéster, papel o por una capa de óxido de aluminio obtenido por medio de la electrólisis.

Asociaciones de condensadores:

Al igual que las resistencias, los condensadores pueden asociarse en serie (figura 4), paralelo (figura 5) o de forma mixta. En estos casos, la capacidad equivalente resulta ser para la asociación en serie:

${1 \over C_{AB} } ={1 \over C_1} + {1 \over C_2} + ... + {1 \over C_n} = {\sum_{k=1}^n {1 \over C_k} }$

y para la asociación en paralelo:

$C_{AB} = C_1 + C_2 +...+ C_n = \sum_{k=1}^n C_k$

Es decir, el sumatorio de todas las capacidades de los condensadores conectados en paralelo.
Es fácil demostrar estas dos expresiones, para la primera solo hay que tener en cuenta que la carga almacenada en las placas es la misma en ambos condensadores (se tiene que inducir la misma cantidad de carga entre las placas y por tanto cambia la diferencia de potencial para mantener la capacitancia de cada uno), y por otro lado en la asociación en "paralelo", se tiene que la diferencia de potencial entre ambas placas tiene que ser la misma (debido al modo en el que están conectados), así que cambiará la cantidad de carga. Como esta se encuentra en el numerador (

C = Q / V

) la suma de capacidades será simplemente la suma algebraica.

Para la asociación mixta se procederá de forma análoga con las resistencias.

POTENCIAL ELECTRICO

El potencial eléctrico en un punto es el trabajo que debe realizar una fuerza eléctrica para mover una carga positiva q desde la referencia hasta ese punto, dividido por unidad de carga de prueba. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga unitaria q desde la referencia hasta el punto considerado en contra de la fuerza eléctrica. Matemáticamente se expresa por:

$V = \frac{W}{q} \,\!$

Considérese una carga puntual de prueba positiva, la cual se puede utilizar para hacer el mapa de un campo eléctrico. Para tal carga de prueba $q_0 \,\!$ localizada a una distancia r de una carga q, la energía potencial electrostática mutua es:

$U = K\frac{ q_0 q}{r} \,\!$

De manera equivalente, el potencial eléctrico es $V = \frac{U}{q_0} \,\!$ = $K\frac{q}{r} \,\!$

Trabajo eléctrico y energía potencial eléctrica:

Considérese una carga puntual q en presencia de un campo eléctrico. La carga experimentará una fuerza eléctrica. Se define como el trabajo "W"
$\vec F=q \vec E \,\!$ Ahora bien, si se pretende mantener la partícula en equilibrio, o desplazarla a velocidad constante, se requiere de una fuerza que contrarreste el efecto de la generada por el campo eléctrico. Esta fuerza deberá tener la misma magnitud que la primera, pero sentido contrario, es decir:
${\vec F}_a=-q \vec E \,\!$

Partiendo de la definición clásica de trabajo, en este caso se realizará un trabajo para trasladar la carga de un punto a otro.De tal forma que al producirse un pequeño desplazamiento dl se generará un trabajo dW. Es importante resaltar que el trabajo será positivo o negativo dependiendo de cómo se realice el desplazamiento en relación con la fuerza ${\vec F}_a \,\!$ . El trabajo queda, entonces, expresado como:

$dW={\vec F}_a \cdot d \vec{l}= F_a \, dl\cos (\theta) \,\!$

Nótese que en el caso de que la fuerza no esté en la dirección del desplazamiento, sólo se debe multiplicar su componente en la dirección del movimiento.

Será considerado trabajo positivo el realizado por un agente externo al sistema carga-campo que ocasione un cambio de posición y negativo aquél que realice el campo.

Teniendo en cuenta la expresión (1):

$dW=\vec F_a \cdot d \vec l = q \vec E \cdot d \vec {l} \,\!$

Por lo tanto, el trabajo total será:

$W=\int_{A}^{B} q\vec E \cdot d \vec l \,\!$

Si el trabajo que se realiza en cualquiera trayectoria cerrada es igual a cero, entonces se dice que estamos en presencia de un campo eléctrico conservativo.

Expresándolo matemáticamente:

$W=\int_{A}^{A} q\vec E \cdot d \vec l=0 \,\!$

Ahora bien, sea una carga q que recorre una determinada trayectoria en las inmediaciones de una carga Q tal como muestra la figura.

El trabajo infinitesimal es el producto escalar del vector fuerza F por el vector desplazamiento dl, tangente a la trayectoria, o sea:

$\vec F \cdot d \vec l=F \, dl \cos(\theta)=F \, dr \,\!$

donde dr es el desplazamiento infinitesimal de la carga q en la dirección radial.

Para calcular el trabajo total, se integra entre la posición inicial A, distante $r_A \,\!$ del centro de fuerzas y la posición final B, distante $r_B \,\!$ del centro fijo de fuerzas:

$W=\int_{A}^{B} \frac {1}{4\pi{\epsilon}_0}\frac{Qq}{r^2} \, dr=\frac {1}{4\pi{\epsilon}_0}\frac{Qq}{r_A}-\frac {1}{4\pi{\epsilon}_0}\frac{Qq}{r_B} \,\!$

De lo anterior se concluye que el trabajo W no depende del camino seguido por la partícula para ir desde la posición A a la posición B. lo cual implica que la fuerza de atracción F, que ejerce la carga Q sobre la carga q es conservativa. La fórmula de la energía potencial es:

$E_p=\frac {1}{4\pi{\epsilon}_0}\frac{Qq}{r} \,\!$

Por definición, el nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, o sea, si y sólo si $r=\infty, \quad E_p=0 \,\!$ .

Campo eléctrico no uniforme: En el caso más general de un campo eléctrico no uniforme, este ejerce una fuerza $q\vec E \,\!$ sobre la carga de prueba, tal como se ve en la figura. Para evitar que la carga acelere, debe aplicarse una fuerza $\vec F \,\!$ que sea exactamente igual a $-q\vec E \,\!$ para todas las posiciones del cuerpo de prueba.
Si el agente externo hace que el cuerpo de prueba se mueva siguiendo un corrimiento $d \vec l \,\!$ a lo largo de la trayectoria de A a B, el elemento de trabajo desarrollado por el agente externo es $\vec F \cdot d\vec l\ \,\!$ . Para obtener el trabajo total $W_{AB} \,\!$ hecho por el agente externo al mover la carga de A a B, se suman las contribuciones al trabajo de todos los segmentos infinitesimales en que se ha dividido la trayectoria. Así se obtiene:
$W_{AB}=\int_{A}^{B}\vec F \cdot d \vec l=-q\int_{A}^{B}\vec E \cdot d \vec l \,\!$
Como $V_B-V_A=\frac{W_{AB}}{q} \,\!$ , al sustituir en esta expresión, se obtiene que
$V_B-V_A= -\int_{A}^{B}\vec E \cdot d \vec l \,\!$ Si se toma el punto A infinitamente alejado, y si el potencial $V_A \,\!$ al infinito toma el valor de cero, esta ecuación da el potencial en el punto B, o bien, eliminando el subíndice B,

$V= -\int_{\infty }^{B}\vec E \cdot d \vec l \,\!$ Estas dos ecuaciones permiten calcular la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera si se conoce $\vec E \,\!$ .